湘教版高中数学教材与国内外同类教材的比较

2019-08-20 15:10

摘自:《新思考网》

半个世纪以来,我国和世界各国(特别是发达国家)的数学家、数学教育家和有关政府人员,对数学教育的改革进行了积极的探索,在教育理念、教学方法教学内容等多个方面进行了大量的研究和实践。在本教材的编写过程中,我们结合“标准”认真研究了国内外同类教材的长处和不足,取长舍短,用新的方法处理了了现有国内外教材未能解决或解决得不好的问题,体现出自己的特色。

国外教材共同的长处是材料丰富有趣,印刷精美,呈现方式生动活泼。特别是美国的教材,用许多阅读材料引入课文,这些材料内容广泛形式各异,有绚丽多彩的图片,有生动具体的现实问题,有让人着迷的数学史,有发人深省的悬念,也有有待解决的形形色色的实际问题还有数学学科及其应用的最新发展等。但实质上数学内容较肤浅,学生学过之后解决问题能力较差。

与美国教材相比,欧洲教材数学上较有深度。例如,法国强调要用学生能理解的道理去代替艰深的论证;特别要注意术语和记号的使用;要使学生认识到语言精确化的必要性,教会学生阅读和理解课本,同时培养学生的实验能力、思维能力、想象能力与分析能力等。但在重视代数符号推演的同时,几何直观被削弱了。

亚洲教材 ,包括我国的教材,更重视数学的基本概念、基本知识和基本技能,但知识呈现的方式单调,可读性差,与现实的结合不够。

总的来说,各国普遍注意到:数学教材的内容应是学生终生受用的知识,同时适合不同个体发展之需。强调联系实际,使学生能用所学的知识解决实际问题。借以发展数学概念和提高学生思维能力。提倡通过多种途径进行学习。通过各种活动如画图、制作、调查、收集数学材料等组织学习;力求全面发挥数学的德育、智育和美育等教育功能。此外,国外越来越多的科研部门和学校正开发好的数学教材软件,大力进行数学课程与现代信息技术的整合。

但是,国内外同类教材,也在不同程度上有不足之处:如把数学课程当作单纯的灌输知识点和训练解题技能,不重视体现活的数学思想,因而不能培养学生的学习兴趣。学生不知道课本中为什么要写上这部分内容,不是因为这部分内容有什么用处、有什么趣味,而是为了应付考试而被迫学习。部分内容繁、偏。不能说繁的都不好,但原创性的数学思想常常是简单而精彩的,这是最鲜活的数学,是学生最应当学习的。而很多繁琐的东西并非是高水平的东西,不在数学的主流上,只是细微末节,不值得花费学生的宝贵时间。课程内容与学生的生活实际联系不够,不能体现时代的发展和科技的进步,学生缺乏应用意识。只重视知识的逻辑顺序,不体现知识的发明、发现、建立的过程,不利于培养学生的创新、探索的意识和能力的培养。等等。

此外,高中阶段所学的数学课程,处于由初等数学向高等数学过渡的阶段。由于科学的发展和社会生活的需求,越来越多的近代数学内容从高等院校下放到高中。如何处理这许多数学知识之间的关系,如何让学生在有效地学习有用知识的同时提高数学素养,就成为编写教材时的一个重要问题。我们所知道的国内外教材,往往只是罗列了知识点和应用的案例,从现成的数学知识和应用实例中选择所要的的材料,做成拼盘。对于知识之间的内在联系缺少足够的发掘。我们则更注重引导学生思考数学知识发生发展的过程,尽可能地知其所以然,在学习和实践中提高数学的素养。以下从几个具体的方面说明本教材与国内外同类教材的不同点。

1.国内外同类教材对于各部分数学知识之间的内在联系,没有或较少进行揭示。 本教材注重不同数学内容的内在联系,注重向学生揭示数学的多样性背后隐藏的思想和方法的主线。

例如,同类教材对于三角、解析几何、向量、复数等内容的处理,往往没有统一的线索。特别是没有充分发挥向量的主线作用,以至很多推导和解题方法比较繁琐,使学生只见树木不见林,要死记硬背许多东西。我们以向量为主线,内容的展开简洁明快,解题方法易学有效,更有利于减轻学生负担,培养学生的数学概括能力和抽象思维能力,提高其数学素养。由于向量的反复运用,又强化了学生的应用意识。本教材注重引导学生通过知识之间的联系而明白基本道理,通过理解而掌握方法,而不必硬背。

例如,讲直线的一般方程时,特别指出一次项系数是直线的法向量的坐标,只用这一思路即可得出各种情况下直线的方程,直线的各种类型的方程(点斜式、点向式、两点式、点法式、截距式)等公式通通不用去死记硬背 ,平行、垂直等关系自然可以化为法向量之间的相应关系,点到直线的距离也转化为点到直线的任一向量在法向量方向上的投影。只教了法向量这一招,就可以在直线方程这一部分打遍天下,代替了对一大堆“知识点”和公式的死记硬背,减轻了学生的负担,大大增强了他们解决问题的能力。

2.国内外同类教材,为了减轻学生负担,往往采取删减内容的办法。 本教材在删减不必要的繁琐内容的同时,还注意通过引导学生对数学方法的掌握来提高效率。有些新的内容要增加,学生要花时间来学习,如果这部分内容很有用,能帮助学生在学习其它内容或解决问题时节省时间,花费的时间就是划算的,总的看就是减轻了负担。但如果学了不用,那就是增加负担。好比买一台洗衣机花了钱,但用洗衣机洗衣服节省了时间,花钱是值得的。但如果买回来就放在那里,从来不用,那就是白花了钱。教材中增加新的内容时也应当算这笔帐,看是否要花很多的时间去学,学了之后用处的大小。如果学起来容易,用处也大,就是价廉物美,应当做的事情。但如果学起来不容易,用处不大,那就是赔本买卖,最好不做。例如有关向量的知识,很容易学,而且学了之后在平面几何、解析几何、立体几何、三角公式、复数以至于在高中物理中都是有效的工具,学习它就是很划算的。但以往的教材中向量出现得很晚,用得太少,好象就是为学向量而学向量,花的时间就不那么划算了。

因此,从根本上这不是单纯的减轻负担的问题,而是提高学习效率的问题:怎样避免将宝贵的时间和精力浪费在不重要的、非本质的东西上,怎样在有限的时间中学得更好、学到更多有用的东西。

提高效率是主要的考虑,但还不是唯一的考虑。好比我们要到达一个目标,一般需要走最近的路线、避免走弯路,采用最快的交通工具(比如坐汽车、火车或飞机)。但也有时候专门到操场上去跑步兜圈子,最后回到原地,这岂不是浪费时间、白费力气吗?不,这是为了锻炼身体。对学生的负担也是这样,一般来说应减轻负担,尽量节省时间和精力,但也有时候要适当折腾,保持一定的负担和训练强度,以锻炼思维,才能较为熟练和牢固地掌握必要的知识和培养能力。但折腾要合理适度,不能一味强调高强度训练而走向反面。

3.国内外同类教材对于数与形之间的相互关系重视不够,特别是对于几何的作用重视不够。 或者只重视用代数方法处理几何问题,而较少重视几何形象在说明代数方法时的作用。本教材特别重视几何直观对推理和代数运算的说明和启发作用。

例如,复数的引进是数学发展中的一件大事。国内外同类教材往往只从代数出发,用定义的方式规定 i^2=-1。我们则从几何变换入手,使学生看到复数的出现是几何变换探索的必然结果。在向量和几何变换的基础之上讲复数的运算和应用,不仅更为直观易懂,更有利于体验数学的思维特色,提高数学素养。

又如,在用向量方法证明几何命题时特别指出,向量的各个运算律是有几何意义的,暗藏了关于平行四边形、相似三角形的基本几何定理 ,在利用这些运算律按我们所熟悉的方式进行向量运算时,实际上就相当于运用了这些基本的几何定理进行推理,解决各种几何问题。因此,在向量讲运算律时,我们既没有不证明这些运算律而使学生误认为这些运算律理所当然成立,也没有花时间去形式地证明这些运算律而是教材显得繁琐,而是通过例题要求学生自己去了解它们的几何意义,自己给出几何证明。这里的重点不在于如何证明,而在于了解它们是有几何意义的。利用向量差的完全平方可以立即勾股定理和余弦定理,这是向量运算最神奇的例子之一。为了说明这个神奇证明的几何意义,我们安排了一个阅读材料,让有兴趣的学生将向量证明逐句翻译成几何语言,得到一个几何证明(就是利用相似三角形的证明),让学生加深了解向量的代数与几何内涵之间的关系。

4.国内外同类教材中提出的实际问题,或者是让学生应用已知的数学知识,或者是用简单的类比方法为即将引进的数学概念或方法作准备。 过去的教材大多是从定义出发,按逻辑顺序展开。即使要联系实际也是先给出抽象定义再举例说明。在介绍算法时也是先教一般法则再通过例题让学生掌握。通过这几年的教学改革,这种情况有所改变,现在提倡一种新的呈现方式,先举生活中的实例,再由这个实例提出一般的概念、理论和法则。这是一个进步。但如果只是借一个实例来教给学生一般的概念、理论和法则,这仍然是将知识灌输给学生而不是启发学生自己去发现。如果只是由一个(或几个)实例就说“由这个例子可以得出…”,又是不科学的,可能让学生形成不完全归纳的错误习惯。我们认为这还不能说是一个呈现方式的问题。只要你是将知识“呈现”给学生,即使是通过实例来呈现,就仍然你将知识灌输给他而不是让他自己去发现。

我们采取的方式,不是向学生“呈现”知识,而是向他们提出一个问题。这个问题的题意容易懂,让学生尝试去解决,在解决问题的过程中引入所需的概念、建立一套理论和法则。尽管这样的概念、理论和法则是由一个具体问题引入,它应当不依赖于这个例子的特殊性质而可以推广到更一般的情形。这本来是科研工作者做科学研究的过程,我们设法以这种方式来展开关键性的内容。我们安排的数学实验,力求使学生在动手动脑的过程中体会到数学概念引进的必要性和必然性,让学生有自己发现的感觉,认识数学知识发生发展的过程。例如,通过所设计的问题情景引出向量的概念和表示问题,在解决问题的思考讨论中自然地生成和发展了向量的概念。通过抛物线弓形面积的计算问题和上抛物体初速的计算,在解决问题的过程中自然引进定积分的概念和计算方法。

我们对定理的引入,也常常不采用传统的给出一个定理再加以证明的方式。而是将定理的所要解决的问题作为一个例题提给学生,不预先告诉结论和答案。而是与学生一起去探索和解决这个问题。通过证明过程和推理过程得出了结论,再总结成定理或法则,以便于学生应用。所以,我们引入定理的模式不是“定理 --证明--应用”,而是“例题--解决--结论--总结--应用”。这样,定理的内容就不是被灌输、记忆和应用。而是问题--探索--解决--发现--应用。

因此,我们在课本中从来不说“让我们来学习 ...”、“以后会学到...”这样的话,而说“让我们来解决这个问题”,“想一想,你能解决这个问题吗?”还说:“一时想不出来也不要紧,以后我们再一起探索”,给学生留下悬念,保持探索的兴趣。这也与传统的中学教学模式大不相同:过去的中学课本,只要出现了一个知识点,就非得要将相关的内容全部讲完,生怕留下遗留问题。但中学数学是不可能没有遗留问题的,课本就总是将遗留问题掩盖起来不让学生觉察,总是要让学生认为他们已经能解决相关的一切问题了。这既不符合科学的事实,也不符合人类的认知规律,往往很多中学生念完中学就认为他们学完了所有的数学,或者只剩下微积分没有学了,不知道人类对世界的探索永远没有止境。文学作品如果不留悬念,一定没有人愿意看。中学数学本来就到处是悬念,不要掩盖起来,而要随时告诉学生,让他有思考的余地,让他有兴趣学后面的内容,让他念完中学也知道还有很多问题没有解决。

5.国内外同类教材中,往往把数学的严谨性和直观易学对立起来。 多数是为了降低难度,或者为了直观易学而过多地放弃了数学的严谨性,也有是为了严谨而增加了难度。本教材基于教育数学的研究和实践,注重对数学概念的表述方法加以改进使之适合教育的需要,在保持严谨的同时化难为易。例如,如何处理极限概念的表述,已经成为微积分入门教学的世界性难题。本教材使用了既直观易学又保持数学上相对严谨的表达方式。使一些过去在大学工科都不能严格证明的重要结论在初等数学的框架之内有了严谨清楚的表达和证明。例如,我们给出了微积分基本定理的初等表达形式和相对严谨的论证,使得将来没有机会进一步学习微积分的学生也能从实质上理解这个被誉为“人类精神的最高胜利”的重要成果。对于将来继续学习微积分的学生,将这里的初等证明与严谨的极限方法对比,也是一次有益的数学思考。

6.国内外同类教材中,注意用图片、故事或实例来提高学生的兴趣。 本教材不仅注意吸取同类教材的这些长处,还注意引导学生较深入地思考一些问题,发掘数学本身的趣味。例如,国内外同类教材中在引进新类型的数时,往往说有了新的数,一种运算可以通行无阻了。本教材在引进复数时,提出“为什么不引进一个数,让 0作除数的运算能通行无阻呢?”讨论这个问题,使学生认识到新数的引进要符合数系本身的规律,数学素养在思考中提高。

7.国内外同类教材对排版与内容的关系没有足够的重视,常常把一段重要的话甚至一组数学式排在一页两面,给读者带来不便。 我们将采用“屏幕式排版”,使形式为内容服务,增强了教材的可读性,有利于提高教学效率。也为电子教案的制作提供了帮助。

8.在中学教材中安排数学实验,是我们的创新。

数学实验与数学探究的区别是:探究还大多是通过推理的方式来研究。而数学实验则是通过实验、观察、猜想、验证的方式来学习和探索,而计算机及软件是强大的工具和助手。《标准》提倡将现代化教学手段与信息技术与数学课程整合,我们编写教材引入数学实验就是这种整合的一种尝试。过去的中学教学中也开设计算机课程,但由于计算机课程的内容没有与数学内容结合,对于数学学习促进作用不大,与高考也没有什么关系,因此在很多地方流于形式。我们在数学教材中引入数学实验内容就是希望将计算机与数学学习真正结合,起到促进作用,这才可能从根本上调动中学师生使用计算机的积极性和兴趣 .一部分实验直接进入正文内容,比如在算法中直接以辗转相除法求最大公因数、求实数的连分数展开等,都可作为算法的实例。这样可以避免使新增的内容《算法》变成从计算机课程中搬来的一块,而可以和数学的其它内容有机地融为一体。

另一部分结合正文内容进行安排,加深对正文内容的理解,并且提供对于正文内容用实验的方式进行探索和研究的机会。比如结合定积分的概念之后安排用计算机计算单位圆面积 --计算圆周率,结合几何概率用随机投点法算圆周率。还有一部分紧密结合数学或物理课程内容作为学生的扩展性练习。如画球面镜反射平行光线的图来观察它的聚光效果,根据胡克定律画弹簧振动的图象并观察它是否正弦曲线等。

9.本教材将力求写出科普作品的风格。 希望写成学生可以在教师指导下自己阅读的书。写成学生愿意在毕业之后保存参考的书。这样写有助于缓解教师力量不足的困难。在语言上要适度口语化,不板着面孔讲数学。尽量用贴近学生生活和感情的、通俗明白的语言来讲明数学内容的最精华的内核 ,避免故弄玄虚吓唬人。

现在很多教材语言乏味,板着面孔讲数学,以为与自然语言离得越远就越能显示数学的高深,将生动活泼、贴近学生生活实际和感情的语言一概视之为有损数学神圣的低等语言加以拒绝,将八股味视为唯一正宗的数学,结果是学生学起来没有兴趣,也丧失了数学自身固有的精彩和魅力。

其实,最精彩、最深刻的数学的基本想法其实都是简单的、自然的。越是对数学理解深刻的数学家,如华罗庚,就越能用口语化的生动语言一语道破数学的本质的东西。哲学比数学更抽象,但毛泽东一句“谁见过人?只见过张三李四。也没见过房子,只见过天津的洋楼,北京的四合院”就用最口语化的老百姓的语言将具体与抽象

的辩证关系讲得清清楚楚,胜过多少长篇大论 ,也比"抽象存在于具体之中,一般性存在于特殊性之中"这样的标准表述更能让人得要领。

金庸在武侠小说《神雕侠侣》中借独孤求败之口发表谈话了这样的议论:武功处于初级阶段,需要用锋利武器,用重剑 ;武功达到高级阶段,只要数枝就可以克敌制胜;最高级阶段就不用武器,发出的“气”就能战胜敌人。这当然是神话,但有他的哲理:对数学了解比较初步,只能照书上的话说,越雷池一步就要犯错误;

对数学了解深刻了,就可以用自己的语言,用大众化的语言。当然,用口语也有危险:如果误用,就会使学生对数学产生误解。因此,驾驭好口语,需要把握好合理的度。

我们将数学最本质的东西用口语讲出来,将其中所包含的数学内涵向学生解释清楚,再与准确的数学语言相对照。让学生体会从感性的口语到理性的数学语言的提升过程,避免只会死记硬背数学语言的词句而不明白其实质内容和来源。

例如,求一点 G的位置向量OG,我们就比喻为从O到G

走路,还引用流行歌曲的歌词“走走走走走啊走” ,关键在于怎样选择一条合理的路线走过去,使每一步都能用已知向量表示。将位移的加法比喻为走路,既体现了位移及其加法的本质又使学生喜闻乐见。又如,说明i平方等于-1并不神秘,将i解释为“向左转”,编了一段顺口溜:“左转再左转,等于向后转”。并且和-1平方等于1的顺口溜“后转两次转向前,负负为正很显然”相对照。用旋转来表达复数的乘法,这样的口语化不但没有损失数学的严密性,反而将貌似神秘虚幻的数学公式讲得明白如话。